Dal paradosso elettromagnetico all’annullamento della carica elettrica alla velocità della luce

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Distribuzione lineare infinita di carica

Una distribuzione lineare infinita di carica è costituita da un filo infinito su cui si trovano delle cariche elettriche statiche distribuite uniformemente sulla lunghezza. La sua densità lineare di carica elettrica λ1, costante su tutta la lunghezza della distribuzione, è pari dal rapporto tra la carica Q1 presente in una porzione di filo e la lunghezza l1 di tale porzione.
Il vettore campo elettrico in un punto che si trova esternamente alla distribuzione alla distanza r da essa ha direzione perpendicolare al filo e verso dato dal segno della carica (uscente per la carica positiva, entrante la carica negativa) e il suo modulo in quel punto è dato dalla formula

E = λ1/2·π·ε0·r

dove ε0 è la costante dielettrica del vuoto.
Se una seconda distribuzione lineare infinita di carica compare alla distanza r dalla prima, la forza elettrica per unità di lunghezza è pari a

Fe = λ1·λ2/(2·π·ε0·r)

Questa forza è repulsiva per cariche dello stesso segno, attrattiva per cariche di segno opposto.

Correnti su fili rettilinei infiniti

Quando una corrente i1 e una corrente i2 percorrono due fili rettilinei infiniti paralleli alla distanza r si genera una forza attrattiva quando le correnti hanno lo stesso verso e repulsiva quando hanno versi opposti e il suo modulo per unità di lunghezza del filo è dato dalla seguente relazione (legge di Biot-Savart)

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r)

dove µ0 è la permeabilità magnetica del vuoto.
Poiché l’intensità di corrente è definita come la quantità di carica Q che attraversa una sezione trasversale del filo nell’unità di tempo

i=Q/t

Assumendo che la distribuzione delle cariche in moto sia omogenea lungo il filo conduttore, e allora si può parlare di densità lineare di carica λ, la quantità di carica che attraversa la sezione trasversale del filo nell’unità di tempo ovvero la corrente è data dal prodotto della densità lineare di carica per la velocità media v delle cariche

i=Q/t= λ·v

L’equazione della forza può essere pertanto essere riscritta come segue

Fm = µ0·i1·i2/(2·π·r) = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r)

Paradosso elettromagnetico

Riprendendo il caso delle due distribuzioni lineari infinite di carica, se le cariche invece di essere statiche si spostano nella stessa direzione della loro distribuzione, quindi quando la loro velocità v è diversa da zero, oltre alla forza Fe compare anche la forza Fm. Prendendo in considerazione il caso in cui le cariche abbiano lo stesso segno e si stiano spostando nello stesso verso la prima componente è di tipo repulsivo, mentre la seconda è di tipo attrattivo.
Il modulo della forza risultante risulta perciò pari al valore di Fe diminuito della componente Fm e pertanto inferiore a quello in cui le cariche erano immobili.
A mano a mano che la velocità aumenta, mentre Fe non varia in quanto indipendente dalla velocità, Fm continua ad aumentare. Quando la velocità v assume il valore della velocità della luce, il valore di Fm è identico a quello di Fe in quanto vale l’uguaglianza c²=1/ε0·µ0

Fm = µ0·λ1·v1·λ2·v2/(2·π·r) = µ0·λ1·c·λ2·c/(2·π·r) = µ0·c²·λ1· λ2 /(2·π·r) = λ1·λ2/(2·π·ε0·r) = Fe

Quanto sopra significa che quando le due distribuzioni di carica viaggiano alla velocità della luce la forza risultante a cui sono soggette è nulla.
Quanto scritto finora vale in un sistema di riferimento in cui risulta apprezzabile il moto delle cariche. Nel momento in cui si sceglie di adottare un sistema di riferimento solidale alle cariche la loro velocità v è sempre nulla e quindi è nullo anche il valore di Fm. Invece il valore di Fe è sempre lo stesso. In questo sistema di riferimento fra le due distribuzioni di carica dovrebbe continuare a manifestarsi una forza pari a Fe il che è in aperta contraddizione con quanto stabilito prima.
Per poter conciliare questa previsione con il risultato in un sistema di riferimento non solidale alle cariche è necessario ammettere che il valore della carica elettrica dipenda dalla sua velocità di spostamento rispetto a un sistema di riferimento assoluto. Tale valore è massimo per velocità nulla, diminuisce all’aumentare della velocità e si annulla al raggiungimento della velocità della luce.
In questo modo, quando le cariche sono ferme la forza è pari a Fe. Quando le cariche si spostano alla velocità della luce assieme al sistema di riferimento, siccome la carica elettrica è nulla, il valore della distribuzione lineare di carica è nullo e quindi nullo è anche il valore di Fe.
Se fino ad oggi la forza di Coulomb ha stabilito cosa è permesso e cosa non lo è, alla velocità della luce tutto diventa possibile e l’impossibile diventa ovvio.

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